УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ГЛАВА 2: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ

Тестовый сигнал представляет собой псевдослучайную последовательность, образованную с использованием функции «rnd» по следующим правилам («rnd» возвращает случайную величину, лежащую в диапазоне 0..1):

x = rnd,

если x < 0.6, то x = x – 0.2.

1. Построение гистограммы.

а. Нарисуйте примерный вид функции плотности вероятности случайного процесса, полученного по указанным выше правилам.

б. Получите и отобразите на графике 300 отсчётов псевдослучайной последовательности.

в. Изобразите гистограмму, полученную по 1000 отсчётам. Ширина столбцов равна 0.01.

г. Повторите пункт в) для 10 000 отсчётов.

д. Повторите пункт в) для 100 000 отсчётов.

е. Определите максимальный разброс столбцов по высоте для гистограмм, полученных в пунктах в) и д). Ответ должен быть записан в абсолютных величинах, а не в процентах.

ж. Какая из трёх гистограмм лучше всего позволяет оценить свойства функции плотности вероятности? Хуже всего?

з. Для какой из гистограмм разброс столбцов по высоте оказался наименьшим? Наибольшим?

и. Объясните причину очевидного противоречия, проявляющегося в задачах ж) и з).

2. Вычисление среднего значения выборки и среднеквадратического отклонения (СКО).

а. Получите в соответствии с приведённым выше алгоритмом 10 000 отсчётов псевдослучайной последовательности. Вычислите любым способом среднее значение и СКО.

б. Получите три таких последовательности, как в пункте а), и сложите их поэлементно. Для найденного сигнала вычислите среднее значение и СКО.

в. Повторите пункт б) для 10 последовательностей.

г. Повторите пункт б) для 30 последовательностей.

д. Отобразите графически те результаты, которые были получены вами при выполнении пунктов а)…г), учитывая при этом, что при сложении псевдослучайных последовательностей их средние значения складываются, а СКО результирующей последовательности выражается как корень квадратный из суммы квадратов СКО отдельных последовательностей. На графиках по горизонтальной оси откладывается «число выборок», а по вертикальной оси — «среднее значение» и «оценка СКО».

3. Центральная предельная теорема.

а. Постройте гистограмму для последовательности, полученной в задаче 2(в).

б. На этом же графике изобразите кривую Гаусса для математического ожидания и СКО, соответствующих полученным в задаче 2(в) оценкам.

в. Оцените степень различия между кривой Гаусса и гистограммой в терминах точности и погрешности.

г. Приводит ли увеличение числа отсчётов выборки к уменьшению точности или погрешности?

д. Приводит ли увеличение числа складываемых псевдослучайных последовательностей к уменьшению точности или погрешности?